PROGRAMACIÓN LINEAL
La Programación Lineal corresponde a un
algoritmo a través del cual se resuelven situaciones reales en las que
se pretende identificar y resolver dificultades para aumentar
la productividad respecto a los recursos (principalmente los
limitados y costosos), aumentando así los beneficios. El objetivo primordial de la
Programación Lineal es optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones lineales en varias variables reales con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal.
Los resultados y el proceso de optimización se convierten en un
respaldo cuantitativo de las decisiones frente a las situaciones
planteadas. Decisiones en las que sería importante tener en cuenta
diversos criterios administrativos como:
- Los hechos
- La experiencia
- La intuición
- La autoridad
¿COMO RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL?
El primer paso para la resolución de un problema de programación
lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un
modelo matemático, estos son:
- Función Objetivo
- Variables
- Restricciones
El siguiente paso consiste en la determinación de los mismos, para lo cual proponemos seguir la siguiente metodología:
LA FUNCIÓN OBJETIVO
La función objetivo tiene una estrecha relación con la pregunta
general que se desea responder. Sí en un modelo resultasen distintas
preguntas, la función objetivo se relacionaría con la pregunta
del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental. Así por
ejemplo, si en una situación se desean minimizar los costos, es muy
probable que la pregunta de mayor nivel sea la que se relacione
con aumentar la utilidad en lugar de un interrogante que busque
hallar la manera de disminuir los costos.
LAS VARIABLES DE DECISIÓN
Similar a la relación que existe entre objetivos específicos y
objetivo general se comportan las variables de decisión respecto a la
función objetivo, puesto que estas se identifican
partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta
fundamental. Las variables de decisión son en teoría factores
controlables del sistema que se está modelando, y como tal, estas
pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa
conocer su valor óptimo, que contribuya con la consecución del objetivo
de la función general del problema.
LAS RESTRICCIONES
Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programación
lineal, nos referimos a todo aquello que limita la libertad de los
valores que pueden tomar las variables de decisión. La
mejor manera de hallarlas consiste en pensar en un caso hipotético
en el que decidiéramos darle un valor infinito a nuestras variables de
decisión, por ejemplo, ¿qué pasaría si en un problema que
precisa maximizar sus utilidades en un sistema de producción de
calzado decidiéramos producir una cantidad infinita de zapatos?
Seguramente ahora nos surgirían múltiples interrogantes, como por
ejemplo:
- ¿Con cuánta materia prima cuento para producirlos?
- ¿Con cuánta mano de obra cuento para fabricarlos?
- ¿Pueden las instalaciones de mi empresa albergar tal cantidad de producto?
- ¿Podría mi fuerza de mercadeo vender todos los zapatos?
- ¿Puedo financiar tal empresa?
Pues bueno, entonces habríamos descubierto que nuestro sistema
presenta una serie de limitantes, tanto físicas, como de contexto, de
tal manera que los valores que en un momento dado podrían
tomar nuestras variables de decisión se encuentran condicionados por
una serie de restricciones.
EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
EL PROBLEMA
La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos
tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300
Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de
T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c;
para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de
b y 27 gr de c.
El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si
se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben
fabricar?
El problema se recomienda
leer en más de una ocasión para facilitar el reconocimiento de las
variables, además es muy recomendable la elaboración de
tablas o matrices que faciliten una mayor comprensión del mismo.
PASO 1: "FORMULAR EL PROBLEMA"
Para realizar este paso partimos de la pregunta central del problema.
¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?
Y la formulación es:
“Determinar la cantidad de metros diarios de tejido tipo T y T’ a
fabricar teniendo en cuenta el óptimo beneficio respecto a la utilidad”.
PASO 2: DETERMINAR LAS VARIABLES DE DECISIÓN
Basándonos en la formulación del problema nuestras variables de decisión son:
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar
PASO 3: DETERMINAR LAS RESTRICCIONES DEL PROBLEMA
En este paso determinamos
las funciones que limitan el problema, estas están dadas por capacidad,
disponibilidad, proporción, no negatividad entre
otras.
De disponibilidad de materia prima:
0,125XT + 0,200XT’ <= 500 Hilo “a”
0,150XT + 0,100XT’ <= 300 Hilo “b”
0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c”
De no negatividad
XT,XT’ >= 0
PASO 4: DETERMINAR LA FUNCIÓN OBJETIVO
En este paso es de vital
importancia establecer el contexto operativo del problema para de esta
forma determinar si es de Maximización o Minimización. En
este caso abordamos el contexto de beneficio por ende lo ideal es
Maximizar.
Función Objetivo
ZMAX = 4000XT + 5000XT’
PASO 5: RESOLVER EL MODELO UTILIZANDO SOFTWARE O MÉTODOS MANUALES
A menudo los problemas de programación lineal están constituidos por
innumerables variables, lo cual dificulta su resolución manual, es por
esto que se recurre a software especializado, como es
el caso de WinQSB, TORA, Lingo o para modelos menos complejos se hace útil la herramienta Solver de Excel.
El anterior ejercicio fue resuelto mediante Solver - Excel, y su resultado fue:
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